由向内能量衰减引起的 NLW 解散射

本文的主题是 3 维空间 ($3\leq p<5$) 中半线性、能量次临界、散焦波动方程 $\partial_t^2 u - \Delta u = - |u|^{p -1} u$，其初值为径向且具有有限能量。本工作中，我们仅在假设能量的向内部分以某一速率衰减的条件下，证明在正时间方向上的散射；只要总能量有限，无论向外能量的衰减速率或大小如何。更确切地说，我们假设初值具有有限能量且 $$\int_{{\mathbb R}^3} \max\{1,|x|^\kappa\}\ (\ |\nabla u_0(x)\cdot \frac{x}{|x|} + \frac{u_0(x)}{|x|} + u_1(x)\ |^2 + \frac{2}{p+1}|u_0(x)|^{p+1}\ ) dx < \infty.$$ 此处 $\kappa\geq \kappa_0(p) = \frac{5-p}{p+1}$ 为常数。若 $\kappa>\kappa_0(p)$，我们亦可证明 $\|u\|_{L^p L^{2p}}({\mathbb R}^+ \times {\mathbb R}^3)< +\infty$ 并给出 $u$ 收敛于自由波的显式速率。