作为非线性波动方程奇异极限的类时 Lorentz 极小子流形

我们考虑半线性波动方程 $u_{tt} - \Delta u + \nabla W(u)/ \epsilon^2 = 0$ 在 $\mathbf R^{1+n}$ 中的锐界面极限 $\epsilon \to 0$，其中 $u$ 取值于 $\mathbf R^k$，$k = 1,2$，$W$ 在 $k = 1$ 时为双井势，在 $k = 2$ 时在单位圆上为零且在其他地方为正。对于固定的 $\epsilon > 0$，我们找到了一些围绕 $\mathbf R^n$ 中的极小曲面构造的特殊解。在一般情形下，在一些附加假设下，我们证明解收敛到支撑在 Minkowski 时空的类时 $k$ 余维极小子流形上的 Radon 测度。该结果在奇异出现后仍然成立，并印证了 J. Neu 的观察，即此半线性方程可视为 Born-Infeld 方程的近似。