具有间断初始数据的半线性广义 Tricomi 方程解的存在性与尖点奇异性

本文研究具有典型间断初始数据 $(u(0,x), \p_tu(0,x))=(0, \vp(x))$ 的半线性广义 Tricomi 方程 $\p_t^2u-t^m\Delta u=f(t,x,u)$ 低正则性解的局部存在性与奇性结构；其中 $m\in\Bbb N$，$x=(x_1, ..., x_n)$，$n\ge 2$，且 $f(t,x,u)$ 关于其变量是 $C^{\infty}$ 光滑的。当初始数据 $\vp(x)$ 为零次齐次函数或沿超平面 ${t=x_1=0}$ 奇异的分段光滑函数时，证明了局部解 $u(t,x)\in L^{\infty}([0,T]\times\Bbb R^n)$ 存在，且分别在向前尖点锥 \Gamma_0=\bigl{(t,x)\colon t>0, |x|^2=\ds\f{4t^{m+2}}{(m+2)^2}\bigr} 和特征尖点楔形 \G_1^{\pm}=\bigl{(t,x)\colon t>0, x_1=\pm \ds\f{2t^{\f{m}{2}+1}}{m+2}\bigr} 之外是 $C^{\infty}$ 的。另一方面，对于 $n=2$ 且初始数据 $\vp(x)$ 为沿两条直线 ${t=x_1=0}$ 和 ${t=x_2=0}$ 奇异的分段光滑函数的情形，我们建立了解 $u(t,x)\in L^{\infty}([0,T]\times\Bbb R^2)\cap C([0, T], H^{\f{m+6}{2(m+2)}-}(\Bbb R^2))$ 的局部存在性，并进一步表明，由于所研究方程的退化特性，一般情况下 $u(t,x)\not\in C^2((0,T]\times\Bbb R^2\setminus(\G_0\cup\G_1^{\pm}\cup\G_2^{\pm}))$；此处 \G_2^{\pm}=\bigl{(t,x)\colon t>0, x_2=\pm\ds\f{2t^{\f{m}{2}+1}}{m+2}\bigr}。这与著名的二维半线性波动方程 $\p_t^2v-\Delta v=f(t,x,v)$ 在初始数据 $(v(0,x), \p_tv(0,x))=(0, \vp(x))$ 下的解 $v(t,x)\in C^{\infty}(\Bbb R^+\times\Bbb R^2\setminus (\Sigma_0\cup\Sigma_1^{\pm}\cup \Sigma_2^{\pm}))$ 的结果存在本质区别，其中 $\Sigma_0={t=|x|}$，$\Sigma_1^{\pm}={t=\pm x_1}$，且 $\Sigma_2^{\pm}={t=\pm x_2}$。