$(p,q)$ 奇异抛物型方程的定性研究：局部存在性、Sobolev 正则性与渐近行为

本文旨在研究以下抛物型 $(p,q)$-奇异方程弱解的存在性、正则性、稳定性和爆破结果：\begin{equation*} (P_t)\; \left\{\begin{array}{rllll} u_t-\Delta_{p}u -\Delta_{q}u & = \vth \; u^{-\de}+ f(x,u), \; u>0 \text{ in } \Om\times (0,T), \\ u&=0 \quad \text{ on } \pa\Om\times (0,T), u(x,0)&= u_0(x) \; \text{ in }\Om, \end{array} \right. \end{equation*} 其中 $\Om$ 是 $\mathbb{R}^N$ 中具有 $C^2$ 边界 $\pa\Om$ 的有界区域，$1<q<p< \infty$，$0<\de, T>0$，$N\ge 2$ 且 $\vth>0$ 为参数。此外，我们假设 $f:\Om\times [0,\infty) \to \mb R$ 是一个有下界的 Carath\'eodory 函数，关于第二个变量在 $x\in\Om$ 上一致满足局部 Lipschitz 条件，且 $u_0\in L^\infty(\Om)\cap W^{1,p}_0(\Om)$。根据 $f$ 的增长情况，我们将其区分为 $q$-次齐次和 $q$-超齐次两种情形（下文将省略术语 $q$）。在次齐次情形下，我们证明了当 $\de<2+1/(p-1)$ 时问题 $(P_t)$ 弱解的存在性与唯一性。为此，我们首先利用上下解方法研究对应于 $(P_t)$ 的稳态问题，随后采用隐式 Euler 方法，获得了 $(P_t)$ 解的存在性。此外，在此情形下，我们证明了稳定性结果，即当 $t\ra\infty$ 时，$(P_t)$ 的解 $u(t)$ 在 $L^\infty(\Om)$ 中收敛于稳态问题的唯一解 $u_\infty$。对于超齐次情形，我们借助非线性半群理论证明了局部存在性定理。随后，我们证明了当 $\de\leq 1$ 且参数 $\vartheta>0$ 较小时，以及在 $\de>1$ 时对所有 $\vth>0$，问题 $(P_t)$ 的解在有限时间内爆破。