分数阶 $(p,q)$-Laplacian 方程的正则性与多解结果

本文研究如下非线性双重非局部方程：\begin{equation*} (-\Delta)^{s_1}_{p}u+\ba(-\Delta)^{s_2}_{q}u = \la a(x)|u|^{\delta-2}u+ b(x)|u|^{r-2} u,\; \text{ in }\; \Om, \; u=0 \text{ on } \mathbb{R}^n\setminus \Om, \end{equation*} 其中 $\Om$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中具有光滑边界的有界域，$1< \de \le q\leq p<r \leq p^{*}_{s_1}$，且 $p^{*}_{s_1}=\ds \frac{np}{n-ps_1}$，$0<s_2 < s_1<1$，$n> p s_1$，$\la, \ba>0$ 为参数。此处 $a\in L^{\frac{r}{r-\de}}(\Om)$ 且 $b\in L^{\infty}(\Om)$ 为变号函数。我们证明了上述问题的弱解在次临界情形 $(r<p_{s_1}^*)$ 下的 $L^\infty$ 估计、弱 Harnack 不等式和内蕴 H"older 正则性。此外，通过分析纤维映射并在 Nehari 流形的适当子集上最小化能量泛函，我们证明了上述凹凸问题弱解的存在性与多重性。在 $\de=q$ 的情形，我们给出了解的存在性。