关于距离函数类混合局部与非局部奇异问题的规整性结果

我们研究以下由奇异项给出的混合局部与非局部准线性方程：\n\begin{eqnarray*} \begin{split} -\Delta_pu+(-\Delta)_q^s u&=\frac{f(x)}{u^{\delta}}\text { in } \Omega, \\u&>0 \text{ in } \Omega,\\u&=0 \text{ in }\mathbb{R}^n \backslash \Omega; \end{split} \end{eqnarray*}\n其中，\n\begin{equation*} (-\Delta )_q^s u(x):= c_{n,s}\operatorname{P.V.\int}_{\mathbb{R}^n}\frac{|u(x)-u(y)|^{q-2}(u(x)-u(y))}{|x-y|^{n+sq}} d y, \end{equation*}\n其中 $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^{n}$ 中的有界域，边界为 $C^2$，$1<q\leq p<\infty$，$s\in(0,1)$，$\delta>0$，$f\in L^\infty_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ 为非负函数，在 $\partial \Omega$ 附近 behaves like $\mathbf{dist(x,\partial \Omega)^{-\beta}}$，$\beta\geq 0$。我们首先证明当 $\delta=0$ 时，针对更一般的准线性算子族的多个 Hölder 及其梯度 Hölder 规整性结果。利用这些规整性结果，我们推导出奇异问题在 $W_{\mathrm{loc}}^{1,p}(\Omega)$ 中弱解的存在性、唯一性和 Hölder 规整性，以及其在 $\partial \Omega$ 附近的行为（取决于 $\beta+\delta$）。讨论了具有临界指数的奇异方程的有界性和 Hölder 规整性结果。