混合局部-非局部算子的边界正则性及其应用

设 $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中的有界 $C^2$ 区域，且 $u\in C(\mathbb{R}^n)$ 在黏性意义下满足 \begin{equation*} \begin{aligned} \Delta u + a Iu + C_0|Du| \geq -K\quad \text{in}\; \Omega, \quad \Delta u + a Iu - C_0|Du|\leq K \quad \text{in}\; \Omega, \quad u=0\quad \text{in}\; \Omega^c, \end{aligned} \end{equation*} 其中 $0\leq a\leq A_0$，$C_0, K\geq 0$，$I$ 为合适的非局部算子。我们证明了对某个 $\kappa\in (0,1)$，$u/\delta$ 属于 $C^{\kappa}(\bar \Omega)$，其中 $\delta(x)={\rm dist}(x, \Omega^c)$。利用该结果，我们还建立了 $u\in C^{1, \gamma}(\bar\Omega)$。最后，我们将这些结果应用于研究混合局部-非局部算子的超定问题。