自由边界的正则性及其在 Pompeiu 问题中的应用

在单位球 $B(0,1)$ 中，令 $u$ 与 $\Omega$（$\R$ 中的区域）求解如下过定问题：$$\Delta u =\chi_\Omega\quad \hbox{in} B(0,1), \qquad 0 \in \partial \Omega, \qquad u=|\nabla u |=0 \quad \hbox{in} B(0,1)\setminus \Omega,$$ 其中 $\chi_\Omega$ 表示特征函数，方程在分布意义下成立。若 $\Omega$ 的补集在原点不出现尖点奇性，则我们证明 $\partial \Omega$ 在原点某小邻域内是解析的。该结果可推广至更一般的散度型算子。作为其应用，我们得到：在补集无尖点奇性的前提下，不具有 Pompeiu 性质的域的边界是正则的。