归一化 p-调和障碍问题 $p>2$ 自由边界的几乎处处正则性

设$u$是$p>2$的归一化p-调和障碍问题的解。即$u\in W^{1,p}(B_1(0))$，$2<p<\infty$，$u\ge 0$且$$\d\left( |\nabla u|^{p-2}\nabla u\right)=\chi_{\{u>0\}}\textrm{ in }B_1(0)$$其中$u(x)\ge 0$且$\chi_A$是集合$A$的特征函数。我们的主要结果是，对于几乎每个自由边界点，关于$(n-1)-$Hausdorff测度，存在一个邻域使得自由边界是$C^{1,\beta}-$图。即，对于\H^{n-1}-a.e.点$x^0\in \partial \{u>0\}\cap B_1(0)$，存在$r>0$使得$B_r(x^0)\cap \partial \{u>0\}\in C^{1,\beta}$。