关于 $p$-Laplacian 障碍问题中自由边界的正则性

我们研究了区域 $\Omega\subset\mathbb R^n$ 中 $p$-Laplacian 障碍问题的自由边界正则性，其方程为 $\min\bigl\{-\Delta_p u,\,u-\varphi\bigr\}=0$。此处，$\Delta_p u=\textrm{div}\bigl(|\nabla u|^{p-2}\nabla u\bigr)$，且 $p\in(1,2)\cup(2,\infty)$。在那些满足 $\nabla \varphi\neq0$ 的自由边界点附近，算子 $\Delta_p$ 是一致椭圆且光滑的，因此自由边界已得到充分理解。然而，当 $\nabla \varphi=0$ 时，$\Delta_p$ 是奇异的或退化的，此前对这些点处自由边界的正则性一无所知。在此，我们研究 $\nabla \varphi=0$ 处的自由边界正则性。一方面，对于每个 $p\neq2$，我们构造了 $p$-Laplacian 障碍问题的显式全局 2-齐次解，其自由边界在原点处具有角点。特别地，我们表明自由边界在 $\nabla \varphi=0$ 的点处通常不是 $C^1$ 的。另一方面，在“凹性”假设 $|\nabla \varphi|^{2-p}\Delta_p \varphi<0$ 下，我们证明了自由边界是可数 $(n-1)$-可求长的，并证明了 $u$ 在所有自由边界点处的非退化性质。