$p(x)-$Laplacian的非齐次奇异摄动问题

本文研究了如下$p_\varepsilon(x)$-Laplacian的奇异摄动问题：$\Delta_{p_\varepsilon(x)}u^\varepsilon:=\mbox{div}(|\nabla u^\varepsilon(x)|^{p_\varepsilon(x)-2}\nabla u^\varepsilon)={\beta}_{\varepsilon}(u^\varepsilon)+f_\varepsilon$，$u^\varepsilon\geq 0$，其中$\varepsilon>0$，${\beta}_{\varepsilon}(s)={1 \over \varepsilon} \beta({s \over \varepsilon})$，$\beta$为满足$\beta>0$在$(0,1)$上、$\beta\equiv 0$在$(0,1)$之外且$\int \beta(s)\, ds=M$的Lipschitz函数。函数$u^\varepsilon$、$f_\varepsilon$和$p_\varepsilon$一致有界。我们证明了统一的Lipschitz正则性，取极限$(\varepsilon\to 0)$，并在适当假设下证明极限函数是如下自由边界问题的弱解：$u\ge0$且$\begin{cases} \Delta_{p(x)}u= f & \mbox{在 }\{u>0\}\text{ 中}\\ u=0,\ |\nabla u| = \lambda^*(x) & \mbox{在 }\partial\{u>0\}\text{ 上}\end{cases}$，其中$\lambda^*(x)=\Big(\frac{p(x)}{p(x)-1}\,M\Big)^{1/p(x)}$，$p=\lim p_\varepsilon$，$f=\lim f_\varepsilon$。在\cite{LW4}中我们证明了弱解的自由边界在平坦自由边界点附近是$C^{1,\alpha}$曲面。该结果特别适用于本文研究的极限函数。