奇异摄动与均匀化的一种通用方法 III：具局部缺陷的非线性周期均匀化

我们考虑以下类型的半线性椭圆方程及其方程组的具局部缺陷的周期均匀化：$$\nabla\cdot\Big(\Big(A(x/\varepsilon)+B(x/\varepsilon)\Big)\nabla u(x)+c(x,u(x)\Big)=d(x,u(x)) \mbox{ in } \Omega$$带有 Dirichlet 边界条件。对于较小的 $\varepsilon>0$，我们证明了弱解 $u=u_\varepsilon$ 的存在性，以及它们在 $\|u-u_0\|_\infty \approx 0$ 时的局部唯一性，其中 $u_0$ 是均匀化问题给定的非退化弱解。此外，我们证明了当 $\varepsilon \to 0$ 时，$\|u_\varepsilon-u_0\|_\infty\to 0$，并估计了相应的收敛速率。我们的假设大致如下：$\Omega$ 是一个有界 Lipschitz 域，$A$、$B$、$c(\cdot,u)$ 和 $d(\cdot,u)$ 是有界且可测的，$c(x,\cdot)$ 和 $d(x,\cdot)$ 是 $C^1$ 光滑的，$A$ 是周期的，而 $B$ 是局部缺陷。既不假设全局唯一性，也不对 $c(x,\cdot)$ 或 $d(x,\cdot)$ 施加增长限制。证明的主要工具是隐函数定理类型的抽象结果，它允许采用一种通用方法来处理非线性奇异摄动和均匀化。