定量均匀化与滑动平均的收敛性

我们研究最基本形式的均匀化：$$-\left(a\left(\frac{x}{\varepsilon}\right) u_{\varepsilon}'(x)\right)' = f(x) \quad \mbox{for} ~x \in (0,1),$$ 其中 $a(\cdot)$ 是一个正的 $1-$周期连续函数，$f$ 是光滑的，且 $u_{\varepsilon}$ 满足 Dirichlet 边界条件。经典地，存在一个均匀化方程，其中 $a(\cdot)$ 被常数系数 $\overline{a} > 0$ 替代，其解 $u$ 满足 $\|u-u_{\varepsilon}\|_{L^{\infty}} \lesssim \varepsilon$。我们证明局部平均可带来更快的收敛：例如，若 $a(x) = a(1-x)$，则对 $x \in (\varepsilon, 1-\varepsilon)$ 有 $$\left| \frac{1}{\varepsilon} \int_{x-\varepsilon/2}^{x+\varepsilon/2}{ u_{\varepsilon}(y) dy} - u(x) \right| \lesssim_{a, f} \varepsilon^2.$$ 若不满足关于 $a(\cdot)$ 的条件，则减去一个显式给出的线性函数（依赖于 $a(\cdot),f$）可得到相同的界。我们还描述了处理定量均匀化问题的另一种方法，并在同一例子上加以说明。