傅里叶分析在狄利克雷问题均匀化中的应用 I. 逐点估计

本文证明了具有快速振荡狄利克雷数据的偏微分方程组解的均匀化问题的收敛性结果。我们的方法基于振荡积分的分析。在一致凸光滑区域以及光滑算子和边界数据下，我们证明了逐点收敛结果，即 $$|u_{\e}(x)-u_0 (x)| \leq C_{\kappa} \e^{(d-1)/2}\frac{1}{d(x)^{\kappa}}, \ \forall x\in D, \ \forall \ \kappa>d-1,$$ 其中 $u_{\e}$ 和 $u_0$ 分别是振荡和均匀化狄利克雷问题的解，$d(x)$ 是 $x$ 到区域 $D$ 边界的距离。作为推论，对于所有 $1\leq p <\infty$，我们也得到了 $L^p$ 收敛速率。