傅里叶分析在狄利克雷问题均匀化中的应用 II：$L^p$ 估计

设 $u_\e$ 为以下方程组的解：$$\mathrm{div}(A_\e(x) \nabla u_{\e}(x))=0 \text{\ in} D, \qquad u_{\e}(x)=g(x,x/\e) \text{\ on}\partial D,$$ 其中 $D \subset \R^d$ ($d \geq 2$) 是一个光滑的一致凸区域，$g$ 关于其第二个变量是 1-周期的，且 $A_\e$ 和 $g$ 均具有合理的正则性。本文结果包含两个方面。首先，我们证明了上述方程组解的 $L^p$ 收敛结果，针对非振荡算子 $A_\e(x) =A(x)$，对于所有 $1\leq p <\infty$，其收敛速率如下：$$\|u_\e - u_0\|_{L^p(D)} \leq C_p \begin{cases} \e^{1/2p} ,&\text{$d=2$}, (\e |\ln \e |)^{1/p}, &\text{$d = 3$}, \e^{1/p} ,&\text{$d \geq 4$,} \end{cases}$$ 我们证明了该速率对于 $d\geq 4$ 是（一般意义上）尖锐的。此处 $u_0$ 是平均化问题的解。其次，结合我们的方法与 Kenig、Lin 和 Shen 近期的结果 \cite{KLS1}，我们证明了（针对某些类别的算子且当 $d\geq 3$ 时）$$|| u_\e - u_0 ||_{L^p(D)} \leq C_p [ \e (\ln(1/ \e))^2 ]^{1/p}.$$ 该结果同时适用于振荡算子和边界数据。在此情形下，取 $A_\e=A(x/\e)$，其中 $A$ 也是 1-周期的。本文还考虑了该方法在具有振荡边界数据的诺伊曼问题均匀化中的进一步应用。