齐次型空间上 Schrödinger 群的精确 $L^p$ 估计

我们证明了由齐次型度量测度空间 $\mathcal{X}$（其中 $n$ 是 $\mathcal{X}$ 的倍增维数）上的半有界自伴算子 $L$ 生成的 Schrödinger 群的 $L^{p}$ 估计 $$\|e^{-itL} \varphi(L)f\|_{p}\lesssim (1+|t|)^s\|f\|_p, \qquad t\in \mathbb{R}, \qquad s=n\left|\frac{1}{2}-\frac{1}{p}\right|$$。对 $L$ 的假设是一个温和的 $L^{p_{0}}\to L^{p_{0}'}$ 平滑估计，以及对相应热核 $e^{-tL}$ 的一个温和的 $L^{2}\to L^{2}$ 偏对角估计。该估计对于在 $\mathscr{S}(\mathbb{R})$ 的有界集中变化的 $\varphi$，或更一般地在合适的加权 Sobolev 空间中变化的 $\varphi$ 是一致的。我们还在对 $L$ 稍强的假设下证明，该估计可扩展至 $$\|e^{-itL} \varphi(\theta L)f\|_{p}\lesssim (1+\theta^{-1}|t|)^s\|f\|_p, \qquad \theta>0, \quad t\in \mathbb{R},$$ 且对于在 $(0,+\infty)$ 的有界子集中变化的 $\theta$ 也具有一致性。对于非负算子，一致性对所有 $\theta>0$ 均成立。