退化Ornstein-Uhlenbeck算子的全局$L^{p}$估计

我们考虑$\mathbb{R}^{N}$中的一类退化Ornstein-Uhlenbeck算子，形式为$$\mathcal{A}\equiv\sum_{i,j=1}^{p_{0}}a_{ij}\partial_{x_{i}x_{j}}^{2} +\sum_{i,j=1}^{N}b_{ij}x_{i}\partial_{x_{j}}$$其中$(a_{ij}) ,(b_{ij})$是常数矩阵，$(a_{ij})$在$\mathbb{R} ^{p_{0}}$（$p_{0}\leq N$）上对称正定，且$(b_{ij})$使得$\mathcal{A}$是亚椭圆的。对于这类算子，我们证明了如下形式的全局$L^{p}$估计（$1<p<\infty$）： \Vert \partial_{x_{i}x_{j}}^{2}u\Vert_{L^{p}(\mathbb{R}% ^{N})}\leq c\{\Vert \mathcal{A}u\Vert_{L^{p}(\mathbb{R}^{N})}+\Vert u\Vert_{L^{p}(\mathbb{R}% ^{N})}\} \text{对于}i,j=1,2,...,p_{0}% 以及相应的弱(1,1)估计。这个结果似乎是Lebesgue $L^{p}$空间中，在缺乏齐次群结构的情况下，为完整的Hörmander算子$\sum X_{i}^{2}+X_{0}$证明全局估计的首个案例。我们通过以下估计作为副产品得到上述结果，该估计本身也值得关注：$$\Vert \partial_{x_{i}x_{j}}^{2}u\Vert_{L^{p}(S)}\leq c\Vert Lu\Vert_{L^{p}(S)}$$对于任意$u\in C_{0}^{\infty}(S)$，其中$S$是带状区域$\mathbb{R}^{N}\times[ -1,1]$，而$L$是Kolmogorov-Fokker-Planck算子$\mathcal{A}-\partial_{t}.$