退化非局部柯尔莫哥洛夫算子的 $L^p$ 估计

设 $z = (x,y) \in {\mathbb R}^d \times {\mathbb R}^{N-d}$，其中 $1 \le d < N$。我们证明了如下类型的先验估计：\|\Delta\_{x}^{\frac \alpha 2} v \|_{L^p({\mathbb R}^N)} \le_c_p\Big \| L\_{x } v + \sum\_{i,j=1}^{N}a\_{ij}z\_{i}\partial\_{z\_{j}} v \Big \|_{L^p({\mathbb R}^N)}, \;\; 1<p<\infty, 对于 $v \in C\_0^{\infty}({\mathbb R}^N)$，其中 $L\_x$ 是一个非局部算子，其符号方面与 ${\mathbb R}^d$ 上的分数拉普拉斯算子 $\Delta\_{x}^{\frac \alpha 2}$ 可比，$\alpha \in (0,2)$。我们要求当 $L\_x$ 被经典的 ${\mathbb R}^d$-拉普拉斯算子 $\Delta\_{x}$ 替代时，即在局部极限情况 $\alpha =2$ 下，算子 $\Delta\_{x} + \sum\_{i,j=1}^{N}a\_{ij}z\_{i}\partial\_{z\_{j}}$ 满足具有适当伸缩不变性的弱型赫尔曼德条件。此类估计此前仅在 $\alpha =2$ 时已知。这是在赫尔曼德型条件下关于退化非局部算子的 $L^p$ 估计的首批结果之一。我们通过证明如下估计完成了关于 $L\_{x } + \sum\_{i,j=1}^{N}a\_{ij}z\_{i}\partial\_{z\_{j}}$ 的 $L^p$-正则性结果：\begin{equation*} \|\Delta\_{y\_i}^{\frac {\alpha\_i} {2}} v \|_{L^p({\mathbb R}^N)} \le_c_p \Big \| L\_{x } v + \sum\_{i,j=1}^{N}a\_{ij}z\_{i}\partial\_{z\_{j}} v \Big \|_{L^p({\mathbb R}^N)},\end{equation*} 涉及退化方向 $y\_i$ 上的分数拉普拉斯算子（此处 $\alpha\_i \in (0, { {1\wedge \alpha}})$ 依赖于 $\alpha$ 以及获得 $y\_i$ 方向所需的交换子数目）。上述估计即使在局部极限情况 $\alpha =2$ 下也是新的，后者也在考虑之中。