具有 $L^p$ 源项的退化 Kolmogorov 方程的逐点估计

本文旨在为具有如下 Kolmogorov 型算子的退化二阶偏微分方程的解建立新的逐点正则性结果：$$\mathscr{L} :=\sum_{i,j=1}^m \partial^2_{x_i x_j } +\sum_{i,j=1}^N b_{ij}x_j\partial_{x_i}-\partial_t,$$ 其中 $(x,t) \in \mathbb{R}^{N+1}$，$1 \leq m \le N$，且矩阵 $B:=(b_{ij})_{i,j=1,\ldots,N}$ 具有实常数元素。特别地，我们证明若 $\mathscr{L} u$ 在原点的 $L^p$ 平均振荡模为 Dini 的，则原点是二阶导数 $\partial^2_{x_i x_j} u$（$i,j=1,\ldots,m$）以及 Lie 导数 $\left(\sum_{i,j=1}^N b_{ij}x_j\partial_{x_i}-\partial_t\right)u$ 在 $L^p$ 平均意义下的 Lebesgue 连续点。此外，我们能够提供直至二阶的 Taylor 型展开，并给出余项在 $L^p$ 范数下的估计。证明基于衰减估计，我们通过反证法、放大（blow-up）与紧致性结果得到这些估计。