具有无界且完全退化主系数的二阶随机偏微分方程的尖锐 $L_p$ 正则性结果

我们给出随机偏微分方程 (SPDE) \begin{align} \label{abs eqn} du=(a^{ij}(\omega,t)u_{x^ix^j}+f)dt + (\sigma^{ik}(\omega,t)u_{x^i}+g^k)dw^k_t, \quad u(0,x)=u_0, \end{align} 解的存在性、唯一性与尖锐正则性结果，其中 $\{w^k_t:k=1,2,\cdots\}$ 是一列独立布朗运动。系数关于 $(\omega,t)$ 仅可测，且可无界并完全退化，即系数 $a^{ij}$、$\sigma^{ik}$ 仅满足 \begin{align} \label{abs only} \left(\alpha^{ij}(\omega,t)\right)_{d\times d}:= \left(a^{ij}(\omega,t)-\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty} \sigma^{ik}(\omega,t)\sigma^{jk}(\omega,t)\right) \geq 0. \end{align} 本文中，我们证明 \eqref{abs eqn} 存在唯一解 $u$，且 \begin{align} \notag \|u_{xx}\|_{\mathbb{H}^\gamma_p(\tau,\delta)} &\leq N(d,p) \bigg( \|u_0\|_{\mathbb{B}_p^{\gamma+2 \left(1-1/ p \right)}} + \| f\|_{\mathbb{H}^\gamma_p( \tau,\delta^{1-p} )} \label{abs est} &\qquad \qquad+\|g_x\|^p_{\mathbb{H}^\gamma_p( \tau, |\sigma|^p \delta^{1-p},l_2)}+ \| g_x\|_{\mathbb{H}^\gamma_p( \tau,\delta^{1-p/2},l_2)} \bigg), \end{align} 其中 $p\geq 2$，$\gamma\in \mathbf{R}$，$\tau$ 为任意停时，$\delta(\omega, t)$ 是 $\alpha^{ij}(\omega, t)$ 的最小特征值，$\mathbb{H}_p^\gamma(\tau, \delta)$ 为加权随机 Sobolev 空间，$\mathbb{B}_p^{\gamma+2 \left(1-1/ p \right)}$ 为随机 Besov 空间。