具有 $\frac{3}{4}-\varepsilon$-H"older 扩散系数的抛物型 SPDE 的非唯一性

受 Girsanov 关于 SDE 非唯一性例子的启发，我们证明了抛物型随机偏微分方程 (SPDE) $$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\Delta}{2}u(t,x) +\bigl|u(t,x)\bigr|^{\gamma}\dot{W}(t,x),\qquad u(0,x)=0.$$ 的非唯一性。此处 $\dot{W}$ 是 ${\mathbb {R}}_+\times {\mathbb {R}}$ 上的时空白噪声。更确切地说，我们证明了上述随机偏微分方程在 $0<\gamma<3/4$ 时存在非零解。由于 $u(t,x)=0$ 是该方程的解，因此解既不是律唯一的，也不是路径唯一的。Mytnik 和 Perkins [Probab. Theory Related Fields 149 (2011) 1-96] 最近针对 SPDE 建立了 SDE 中著名的 Yamada-Watanabe 定理的类比，证明了如果 $\sigma$ 是指数 $\gamma>3/4$ 的 H"{o}lder 连续函数，则方程 $$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\Delta}{2}u(t,x)+\sigma \bigl(u(t,x)\bigr)\dot{W}(t,x)$$ 的解具有路径唯一性。因此，我们的例子表明该结果本质上是尖锐的。上述这类抛物型 SPDE 的情况与其有限维对应物相似，但指数 $3/4$ 取代了 $1/2$。上述第一个方程中 $\gamma=1/2$ 的情形特别有趣，因为它作为具有湮灭效应的临界分支随机游走系统的带号质量标度极限而出现。