具有 Hölder 噪声系数的随机波方程：适定性与小质量极限

我们构造了阻尼随机波方程 $$\mu \frac{\partial^2u}{\partial t^2}(t,x)=\Delta u(t,x)-\frac{\partial u}{\partial t}(t,x)+b(t,x,u(t,x))+\sigma(t,x,u(t,x))\frac{dW_t}{dt},$$ 的唯一鞅解，其中 $\Delta$ 是 $[0,1]$ 上带 Dirichlet 边界条件的拉普拉斯算子，$W$ 是时空白噪声，$\sigma$ 关于 $u$ 是 $\frac{3}{4}+\epsilon$ -Hölder 连续的且一致非退化，$b$ 具有线性增长。同样的构造对无阻尼项的随机波方程也成立。更一般地，该构造对定义于可分 Hilbert 空间上、带稠定算子 $A$ 的 SPDE 成立，且所假设的噪声系数的 Hölder 正则性以定量的方式依赖于 $A$ 的特征值。我们进一步证明了 Smoluchowski-Kramers 近似的有效性：假设 $b$ 关于 $u$ 是 Hölder 连续的，则当 $\mu$ 趋于 $0$ 时，阻尼随机波方程的解在连续路径空间上依分布收敛到相应随机热方程的解。后一结果即使在加性噪声情形也是新的。