抛物性随机偏微分方程的缓慢增长点

考虑随机偏微分方程 $\partial_tu = \partial^2_x u + \sigma(u) \dot{W}$ 在 $\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}$ 上的情形，初始条件为 $u(0)\equiv1$，其中 $\dot{W}$ 表示 $\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}$ 上的空间-时间白噪声，$\sigma:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 为 Lipschitz 连续函数。已知当 $t\approx0$ 时，$u(t\,,x)-1$ 对每个 $x$ 大约具有高斯分布。本文证明存在随机点 $x\in\mathbb{R}$，其中解在时间接近零时的波动几乎必然为锐利阶数 $t^{1/4}$。我们的工作与 Brownian 增量的缓慢点研究有某种松散的类比，尽管由于问题的无限维性，仍面临显著挑战。