抛物型随机偏微分方程的多重分形局部行为

考虑定义在 $(0\,,\infty)\times\mathbb{R}$ 上的随机热方程 $\dot{u}=\frac12 u"+\sigma(u)\xi$，初值条件 $u(0)\equiv1$，其中 $\sigma:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 是在 $1$ 处不为零的 Lipschitz（局部）函数，$\xi$ 表示时空白噪声。众所周知 $u$ 具有连续样本函数；因此，对每一个 $x\in\mathbb{R}$，几乎必然有 $\lim_{t\downarrow0}u(t\,,x)= 1$。相应的涨落也是已知的：对每个固定的 $x\in\mathbb{R}$，映射 $t\mapsto u(t\,,x)$ 在局部上类似于指数为 $1/4$ 的分数布朗运动（fBm）的固定倍数。特别地，应用 Fubini 定理意味着，在 Lebesgue 测度满的 $x$ 集合上，随机函数 $t\mapsto u(t\,,x)$ 峰值的短时行为受 fBm 的迭代对数律支配，至多可能差一个合适的归一化常数。相比之下，本文的主要结果断言，在 Hausdorff 维数满的 $x$ 集合上，$t\mapsto u(t\,,x)$ 的短时峰值遵循非迭代对数律，并且这些峰值几乎必然包含丰富的多重分形结构。这些结果的大时间变化在多年前的物理学文献中已被预测，并在最近由 Khoshnevisan, Kim 和 Xiao (2016) 证明。据我们所知，本文的短时结果在此首次被观察到。