带 Lévy 噪声的时空分数阶随机偏微分方程

我们考虑 $(d+1)$ 维非线性时间分数阶随机热型方程 $$\frac{\partial^\beta u}{\partial t^\beta}+\nu(-\Delta)^{\alpha/2} u=I^{1-\beta}_t \bigg[\int_{\mathbb{R}^d}\sigma(u(t,x),h) \stackrel{\cdot}{\tilde N }(t,x,h)\bigg]$$ 与 $$\frac{\partial^\beta u}{\partial t^\beta}+\nu(-\Delta)^{\alpha/2} u=I^{1-\beta}_t \bigg[\int_{\mathbb{R}^d}\sigma(u(t,x),h) \stackrel{\cdot}{N }(t,x,h)\bigg]$$，其中 $\alpha\in (0,2]$ 且 $d<\min\{2,\beta^{-1}\}\alpha$，$\nu>0$，$\partial^\beta_t$ 为 Caputo 分数阶导数，$-(-\Delta)^{\alpha/2}$ 为各向同性稳定过程的生成元，$I^{1-\beta}_t$ 为分数阶积分算子，${N}(t,x)$ 为 Poisson 随机测度且 $\tilde{N}(t,x)$ 为补偿 Poisson 随机测度。$\sigma:{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}$ 为 Lipschitz 连续函数。我们证明该方程温和解的存在唯一性。我们的结果推广了“M. Foondun and D. Khoshnevisan. Intermittence and nonlinear parabolic stochastic partial differential equations. \emph{ Electron. J. Probab.} {\bf14} (2009), 548--568”与“ J. B. Walsh. An Introduction to Stochastic Partial Differential Equations, \'Ecoled'\'et\'e de Probabilit\'es de Saint-Flour, XIV|1984, Lecture Notes in Math., vol. 1180, Springer, Berlin, (1986), 265--439”中抛物型随机偏微分方程的情形。在 $\sigma$ 的线性增长下，我们展示时间分数阶随机偏微分方程的解关于时间呈指数增长。我们还展示了当 $\sigma$ 增长快于线性时，两个随机偏微分方程的随机场解均不存在。