由 L\'evy 白噪声驱动的时空分数随机偏微分方程

本文关注以下时空分数随机非线性偏微分方程 \begin{equation*} \left(\partial_t^{\beta}+\frac{\nu}{2}\left(-\Delta\right)^{\alpha / 2}\right) u=I_{t}^{\gamma}\Big[ f(t,x,u)-\sum_{i=1}^{d} \frac{\partial}{\partial x_i} q_i(t,x,u)+ \sigma(t,x,u) F_{t,x}\Big] \end{equation*} 其中 $u(t,x):[0,\infty)\times\mathbb{R}^d \mapsto\mathbb{R}$ 为随机场，$\alpha>0, \beta\in(0,2), \gamma\ge0, \nu>0, F_{t,x}$ 为 L\'evy 时空白噪声，$I_{t}^\gamma$ 表示时间上的 Riemann-Liouville 积分，$f,q_i,\sigma:[0,\infty)\times\mathbb{R}^d\times\mathbb{R} \mapsto\mathbb{R}$ 为可测函数。在适当的多项式增长条件下，我们建立了当 L\'evy 白噪声 $F_{t,x}$ 包含高斯噪声分量时 $L^2(\mathbb{R}^d)$ 值局部解的存在唯一性。此外，对于 $p\in[1,2]$，我们推导了由纯跳 L\'evy 白噪声驱动的方程 $L^p(\mathbb{R}^d)$ 值局部解的存在唯一性。最后，我们获得了全局解存在唯一性的更强条件。