抛物型随机偏微分方程中的耗散 II：解的振荡与衰减

我们考虑一类随机热方程 $\partial_t u = \partial^2_x u + \sigma(u)\dot{W}$，定义在 $(0\,,\infty)\times[-1\,,1]$ 上，具有周期边界条件和非退化正初值，其中 $\sigma:\mathbb{R} \to\mathbb{R}$ 是一个非随机的 Lipschitz 连续函数，$\dot{W}$ 表示时空白噪声。若附加条件 $\sigma(0)=0$，则已知解严格为正；参见 Mueller '91。在该情形下，我们证明解的对数的振荡随时间趋于无穷而次线性衰减。由此特别可得，以概率一，$t^{-1}\, \sup_{x\in[-1,1]}\, \log u(t\,,x)$ 与 $t^{-1}\, \inf_{x\in[-1,1]}\, \log u(t\,,x)$ 的所有极限点必重合。作为该事实的推论，我们证明当 $\sigma$ 为线性时，几乎必然仅存在一个这样的极限点，从而整个路径几乎必然以指数速率衰减。