带源项的 p-Laplace 热方程：自相似解的再探讨

我们研究方程 $u_{t}-div(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)=|u|^{q-1}u$ 在 $\mathbb{R}^{N}$ 中任意符号的自相似解，其中 $p,q>1$。我们将 Haraux-Weissler 在 $p=2$ 时得到的结果推广到 $q>p-1>0$ 的情形。我们特别研究了慢衰减或快衰减解的存在性。对于给定的 $t>0$，当 $p>2$ 时，快解 $u(t,\cdot)$ 在 $\mathbb{R}^{N}$ 中具有紧支集；当 $p<2$ 时，$|x|^{p/(2-p)}u(t,x)$ 在无穷远处有界。我们描述了所有解在 $|x|$ 很大时的行为。根据 $q$ 相对于第一个临界指数 $p-1+p/N$ 和临界 Sobolev 指数 $q^{*}$ 的位置，我们研究了正解的存在性或 $u(t,\cdot)$ 的零点个数。我们证明，当 $p<2$ 且 $q$ 接近 1 时，任何解 $u(t,\cdot)$ 都是振荡的。