$H^{1}$-超临界拟线性薛定谔方程的快衰减与慢衰减解

我们考虑如下形式的拟线性薛定谔方程 \begin{equation*} \triangle u-\varepsilon V(x)u+u\triangle u^2+u^{p}=0,\ u>0\ \mbox{in}\ \mathbb{R}^N\ \mbox{and}\ \underset{|x|\rightarrow \infty}{\lim} u(x)=0, \end{equation*} 其中 $N\geq 3,$ $p>\frac{N+2}{N-2},$ $\varepsilon>0$ 且 $V(x)$ 为正函数。通过对 $V(x)$ 施加适当条件，我们证明：当 $\varepsilon=1$ 时，若 $p>\frac{N+2}{N-2}$，存在无穷多个在无穷远处慢衰减 $O(|x|^{-\frac{2}{p-1}})$ 的正解；当 $\varepsilon$ 充分小时，若 $\frac{N+2}{N-2}<p<\frac{3N+2}{N-2}$，存在一个在无穷远处快衰减 $O(|x|^{2-N})$ 的正解。证明基于微扰方法。为此，我们还分析了零质量问题的正解结构。