具有凹凸非线性项的拟线性薛定谔方程

在本文中，我们考虑如下拟线性薛定谔方程\n\begin{align*} -\Delta u-u\Delta(u^{2})=k(x)\left\vert u\right\vert ^{q-2}u-h(x)\left\vert u\right\vert ^{s-2}u\text{, }u\in D^{1,2}(\mathbb{R}^{N})\text{,} \end{align*}\n其中 $1<q<2<s<+\infty$。与文献中多数结果不同，这里的指数 $s$ 允许为超临界 $s>2\cdot2^{\ast}$。通过利用非线性变换 $f$ 的几何性质以及克拉克定理的一个变体，我们在小于 $D^{1,2}(\mathbb{R}^{N})$ 的空间中得到一列具有负能量的解。同时也得到了负能量水平下的非负解。