关于具有奇异或退化径向势的拟线性薛定谔方程的一个注记

在本注记中我们补全了先前的一项研究，其中我们获得了拟线性椭圆方程 \begin{equation*} -\Delta w+ V\left( \left| x\right| \right) w - w \left( \Delta w^2 \right)= K(|x|) g(w) \quad \text{in }\mathbb{R}^{N}, \end{equation*} 在奇异或退化的连续径向势 $V(r)$、$K(r)$ 下的存在性结果。在我们先前的研究中，出于技术原因我们假设 $K(r)$ 在 $r \rightarrow 0$ 时退化，而本文中我们去掉了这一限制。为处理该问题，我们应用适当的变量代换 $w=f(u)$，并通过变分方法找到非负解的存在性。我们的解满足上述方程的弱形式，但实际上在 $\mathbb{R}^{N} \setminus \{0\}$ 中是经典解。非线性项 $g$ 具有双幂行为，其标准例子为 $g(t) = \min \{ t^{q_1 -1}, t^{q_2 -1} \}$（$t>0$），当 $q_1 = q_2$ 时恢复为通常的单幂行为。