关于 $\mathbb{R}^N$ 中的半线性 Grushin--Schr"odinger 方程

我们在以下方程中建立了非平凡非负弱解的存在性\n\begin{equation*}\n-\Delta_\gamma u + V(z)u = Q(z)f(u), \quad z\in \mathbb{R}^N,\n\end{equation*}\n其中 $\Delta_\gamma$ 表示 $\mathbb{R}^N$ 中的所谓 Grushin 类型算子。势函数 $V$ 和 $Q$ 假设分别受控于类型 $(1+|z|)^a$ 的函数，其中 $a\in\mathbb{R}$。主要结果是 $E_V^\gamma$ 空间嵌入到加权 Lebesgue 空间 $L_Q^p(\mathbb{R}^N)$，在适当条件下成立。最后，我们推导了所获得弱解的正则性结果。