Grushin p-Laplace算子关于临界索比亚诺指数的准线性问题

我们研究如下类的准线性退化椭圆方程：$$\begin{cases}-\Delta_{\gamma,p} u= \lambda |u|^{q-2}u+|u|^{p_{\gamma}^{*}-2}u & \text{ in }\Omega\subset \mathbb{R}^N, \\ u=0 & \text{ on } \partial \Omega, \end{cases}$$其中$\Delta_{\gamma, p}v:=\sum_{i=1}^N X_i(|\nabla_\gamma u|^{p-2}X_i u)$是Grushin $p$-Laplace算子，$z:=(x, y) \in \mathbb{R}^N$，$N=m+n,$ $m,n \geq 1,$，其中$\nabla_\gamma=(X_1, \ldots, X_N)$是Grushin梯度，定义为向量场系统$X_i=\frac{\partial}{\partial x_i}, i=1, \ldots, m$，$X_{m+j}=|x|^\gamma \frac{\partial}{\partial y_j}, j=1, \ldots, n$，其中$\gamma>0$。此处，$\Omega \subset \mathbb{R}^{N}$是一个光滑有界域，满足$\Omega \cap \{x=0\}\neq \emptyset$，$\lambda>0$，$q \in [p,p_\gamma^*)$，其中$p_\gamma^{*}=\frac{pN_\gamma}{N_\gamma-p}$且$N_\gamma=m+(1+\gamma)n$称为Grushin梯度对应的齐次维数。该结果将Alves-Gandal-Loiudice-Tyagi [J. Geom. Anal. 2024, 34(2),52]中关于$p-情况的Brezis-Nirenberg类型结果推广到$p_\gamma^{*}$-情况。其关键步骤在于首先建立所涉及的Sobolev型不等式$$\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^N} |\nabla_{\gamma} u|^p dz \geq S_{\gamma,p} \left ( \int_{\mathbb{R}^N} |u|^{p_\gamma^*} dz \right )^{p/p_\gamma^*} \end{equation*}$$的极值存在性及其作为正整个解的极限问题$$\begin{equation*} -\Delta_{\gamma,p} u= u^{p_{\gamma}^{*}-1}\quad \mbox{on}\, \mathbb{R}^N, \end{equation*}$$的定性行为，其研究本身也具有独立的意义。