具有临界指数的半线性椭圆退化方程

在本文中，我们主要关注退化椭圆方程 Dirichlet 问题的非平凡正解：\begin{gather} -\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} -\left|x\right|^{2k}\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=|x|^{2k}u^p+f(x,y,u) \quad\text{ in }\Omega, \ u=0 \quad\text{ on }\partial\Omega,\label{equ0} \end{gather} 其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^2$ 中具有光滑边界的有界区域，$\Omega \cap \{x=0\}\ne \emptyset,$ $k\in\mathbb N,$ $f(x,y,0)=0,$ 且 $p=(4+5k)/k$ 是临界指数。最近，文献 [12] 基于文献 [17] 中关于加权 Sobolev 空间嵌入定理的新结果，研究了次临界情况下的方程 (1)。在本文考虑的临界情况下，我们将实质性地使用文献 [17] 中找到的最优函数和常数。