半线性退化椭圆方程 Dirichlet 问题的非平凡解

在本文中，我们研究如下边值问题的非平凡弱解的存在性 \begin{gather*} -\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} -\left|x\right|^{2k}\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=f(x,y,u) \quad\text{ in }\Omega, \ u=0 \quad\text{ on }\partial\Omega, \end{gather*} 其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^2$ 中具有光滑边界的有界域，$\Omega \cap \{x=0\}\ne \emptyset$，$k >0$，$f(x,y,0)=0$。