有界域上含伪相对论算子的半线性椭圆方程

我们在有界域上研究了涉及伪相对论算子的半线性方程的 Dirichlet 问题：$(\sqrt{-\Delta + m^2} - m)u =|u|^{p-1}u \quad \textrm{in}~\Omega$，并在 $\partial \Omega$ 上满足 Dirichlet 边界条件 $u=0$。此处，$p \in (1,\infty)$，且算子 $(\sqrt{-\Delta + m^2} - m)$ 通过谱分解定义。在本文中，我们根据 $p$、$m$ 和 $\Omega$ 的选择，研究了非平凡解的存在性与不存在性。具体而言，我们证明：$(i)$ 若 $p$ 不是 $H^1$ 亚临界的（$p \geq \frac{n+2}{n-2}$）且 $\Omega$ 是星形的，则方程对所有 $m > 0$ 均无非平凡解；$(ii)$ 若 $p$ 不是 $H^{1/2}$ 超临界的（$1 <p \leq \frac{n+1}{n-1}$），则对所有 $m>0$ 及任意有界域 $\Omega$，均存在最小能量解；$(iii)$ 最后，在中间范围（$\frac{n+1}{n-1}<p<\frac{n+2}{n-2}$）内，只要 $m$ 足够大且问题 $-\Delta u = |u|^{p-1}u \quad \textrm{in}~\Omega, \qquad u =0\quad \textrm{on}~\partial \Omega$ 存在非退化非平凡解（例如当 $\Omega$ 为球体或环面时），该问题就存在非平凡解。