源于闭合MEMS模型的带负指数半线性椭圆方程

本文研究在 $\mathbb{R}^N$ 中连通有界 $C^2$ 区域 $\Omega$ 上满足零 Dirichlet 边界条件的椭圆方程 $-\Delta u=\frac{\lambda }{(a-u)^p}$，其中 $\lambda>0$、$N\geq 1$、$p>0$，且 $a:\bar\Omega\to[0,1]$ 在边界处以速率 ${\rm dist}(x,\partial\Omega)^\gamma$（$\gamma>0$）趋于零。当 $p=2$ 且 $N=2$ 时，该方程刻画了闭合微机电系统（Micro-Electromechanical Systems, MEMS）器件，其中弹性膜在边界处粘附弯曲接地板，但在边界上绝缘。函数 $a$ 刻画了弯曲接地板的形状。本文旨在研究当 $\lambda>0$、$p>0$ 时该方程极小解的定性性质，并揭示 $a$ 的边界衰减如何影响极小解与吸合电压（pull-in voltage）。特别地，我们对极小解的稳定性给出了完整分析。