涉及分数阶 p-Laplacian 的奇异椭圆问题解的存在性结果

本文研究如下问题 \leqnomode \begin{equation*} \label{p} \left\{\begin{array}{ll} (-\Delta )_p^s u \pm \dfrac{|u|^{p-2}u}{|x|^{sp}} = \lambda f(x,u) & \quad \mbox{in }\ \Omega\\[0.3cm] u= 0 & \quad \mbox{on }\ \mathbb{R}^N \setminus \Omega,\tag{P$_{\pm}$} \end{array} \right. \end{equation*} \reqnomode 其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^N(N\geq 2)$ 中包含原点的有界正则区域，$p>1$，$s\in(0,1)$，$(N>ps)$，$\lambda>0$，$f : \Omega \times \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ 是满足适当增长条件的 Carathéodory 函数，$(-\Delta )_p^s$ 为分数阶 p-Laplacian，定义为 $$(-\Delta )_{p}^{s} u(x) = \displaystyle 2 \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \int_{\mathbb{R}^N \setminus B_{\varepsilon}(x)} \dfrac{\vert u(x)-u(y) \vert^{p-2}(u(x)-u(y))}{\vert x-y \vert^{N+sp}} ~dy, ~~~~ x \in \mathbb{R}^N,$$ 其中 $B_{\varepsilon}(x)$ 是以 $x$ 为中心、$\varepsilon$ 为半径的开 $\varepsilon$-球。利用临界点理论结合分数阶 Hardy 不等式，我们证明问题 $(P_+)$ 至少存在两个相异的非平凡弱解。对于问题 $(P_-)$，我们利用分数阶 Sobolev 空间的集中紧致原理给出弱下半连续性结果，并证明问题 $(P_-)$ 至少存在一个非平凡弱解。