有界域中 p-Laplacian 的 Hardy-Sobolev 型方程，1 < p < 2

我们在 $R^n=R^k \times R^{N-k}$ 中的光滑有界域 $\Omega$ 上研究了形如 $-\Delta_p u = \frac{u^{p^*(s)-1}}{|y|^t}$ 的拟线性退化奇异椭圆方程，其中 $x=(y,z)$ 在 $R^k \times R^{N-k}$ 中，$2 \leq k<N$ 且 $N \geq 3$，$1<p<2$，$0\leq s\leq p$，$0\leq t\leq s$，$p^*(s)=\frac{p(n-s)}{n-p}$。我们研究了 $t<s$ 时解的存在性，以及当 $t=s$ 且 $s<k(\frac{p-1}{p})$ 时解在星形域中的不存在性。我们还证明，当 $t<\frac{k}{N}(\frac{p-1}{p})$ 时，解属于 $C^{1,\alpha}(\Omega)$，其中 $0<\alpha<1$。当 $t<k(\frac{p-1}{p})$ 时，解的正则性可以提升至 $W^{2,p}(\Omega)$ 类。我们还利用对称性方法研究了柱对称域中奇异集的一些性质。