含 $p$-拉普拉斯算子与自然增长梯度项的椭圆方程

我们研究如下问题 $$\left\{ \begin{array}{ll} -\Delta_p u = g(u)|\nabla u|^p + f(x,u) \ & \mbox{in} \ \ \Omega, \ \ \\ u>0 \ &\mbox{in} \ \ \Omega, \ \ u = 0 \ &\mbox{on} \ \ \partial\Omega, \end{array} \right. \leqno{(P)}$$ 在光滑有界区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ 中。利用 Kazdan-Kramer 变量代换，我们将该问题化为一个没有梯度项的拟线性问题，从而可用变分方法处理。通过这种方式，我们遇到了一些由求解 $(P)$ 的需要所驱动的关于拟线性椭圆方程的新且有意思的问题。在其他结果中，我们根据 $g$ 和 $f$ 的行为研究了 Ambrosetti-Rabinowitz 条件的有效性。在几种情形下建立了 $(P)$ 的存在性和多重性结果。