某些拟线性椭圆问题正解的渐近行为

我们通过尺度论证讨论了拟线性椭圆问题 $-\Delta_p u=a u^{p-1}-b(x) u^q$，$u|_{\partial \Omega}=0$ 的正解在 $q \to p-1+0$ 以及 $q \to \infty$ 时的渐近行为。这里 $\Delta_p$ 是 $p$-Laplacian，其中 $1<p<\infty$ 且 $q>p-1$。若 $p=2$，此类问题出现在种群动力学中。我们的主要结果推广了 $p=2$ 时的结果，但成功克服了由非线性退化算子 $-\Delta_p$ 引起的一些技术困难。作为一个副产品，我们可以求解一个非线性 $p$-Laplacian 方程的自由边界问题。