二维 Lane-Emden 问题正解的渐近形态

我们考虑问题 \begin{equation}\label{problemAbstract} \left\{\begin{array}{lr}-\Delta u= u^p & \mbox{ in }\Omega\\ u>0 & \mbox{ in }\Omega\\ u=0 & \mbox{ on }\partial \Omega \end{array}\right.\tag{$\mathcal E_p$} \end{equation} 的解族 $u_p$，其中 $p>1$ 且 $\Omega$ 是 $\mathbb R^2$ 中的光滑有界区域。在条件 p\int_{\Omega} |\nabla u_p|^2\,dx\rightarrow \beta\in\mathbb R\qquad\mbox{当 $p\rightarrow +\infty$ 时} 下，我们给出了 $u_p$ 当 $p\rightarrow +\infty$ 时的渐近行为的完整描述。