二维 Lane-Emden 系统正解的渐近行为

考虑 Lane-Emden 系统 \begin{equation*}\begin{aligned} &-\Delta u=v^p,\quad u>0,\quad\text{in}~\Omega, &-\Delta v=u^q,\quad v>0,\quad\text{in}~\Omega, &u=v=0,\quad\text{on}~\partial\Omega, \end{aligned}\end{equation*} 其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^N$ 中的光滑有界区域，满足 $N\geq 2$ 且 $q\ge p>0$。该系统 {\it 最小能量解} 的渐近行为已在 $N\geq 3$ 的情况下得到研究。然而，$N=2$ 的情况有所不同，且仍完全悬而未决。在本文中，我们研究了 $N=2$ 且 $q=p+\theta_p$ 及 $\sup_p\theta_p<+\infty$ 的情形。在以下对最小能量解成立的自然条件下 $$\limsup_{p\to+\infty} p\int_\Omega\nabla u_p\cdot\nabla v_p \mathrm{d} x<+\infty,$$ 我们给出了当 $p\to+\iy$ 时 {\it 正解} $(u_p,v_p)$（即不仅限于最小能量解）渐近行为的完整描述。这似乎是关于二维情形下 Lane-Emden 系统渐近行为的第一个结果。