Lane-Emden问题：低能节点解的渐近行为

我们研究 $\IR^2$ 中光滑有界区域 $\Omega$ 上具有Dirichlet边界条件的Lane-Emden问题 $-\Delta u = |u|^{p-1}u$（其中 $p>1$）的节点解。考虑满足 $p \int_{\Omega}\abs{\nabla u_p}^2\to 16\pi e\quad\hbox{as}p\rightarrow+\infty\qquad (*)$ 的解 $u_p$，我们关注当 $p\rightarrow+\infty$ 时的形状和渐近行为。首先我们证明 $(*)$ 对最小能量节点解成立。然后我们得到这类解的一些估计和渐近轮廓。最后，在某些情况下，我们证明 $pu_p$ 可以刻画为两个Green函数的差，并且对于大的 $p$，节点线与 $\Omega$ 的边界相交。