分数阶 Lane-Emden 系统的极小能量解 I：存在性与奇点形成

这是两篇论文中的第一篇，研究在光滑有界区域 $\Omega$ 中分数阶 Lane-Emden 系统极小能量解的渐近行为：$$(-\Delta)^s u = v^p, \quad (-\Delta)^s v = u^q \text{ 在 } \Omega \text{ 中 } \quad \text{且} \quad u = v = 0 \text{ 在 } \pa \Omega \text{ 上 } \quad \text{对于 } 0 < s < 1$$，假设次临界对 $(p,q)$ 趋近于临界 Sobolev 双曲线。若 $p = 1$，上述问题退化为具有 Navier 边界条件的次临界高阶分数阶 Lane-Emden 方程：$$(-\Delta)^s u = u^{\frac{n+2s}{n-2s}-\ep} \text{ 在 } \Omega \text{ 中 } \quad \text{且} \quad u = (-\Delta)^{s \over 2} u = 0 \quad \text{对于 } 1 < s < 2.$$ 本文的主要目标是推导极小能量解的存在性，并在 $\Omega$ 为凸区域的条件下考察其（归一化）逐点极限。作为我们研究的副产品，为 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式的极值函数的存在性提供了一种新方法。