有界域中非局部 Choquard 方程的节点解

本文关注以下带有局部项的非局部 Choquard 方程的最小能量节点解：\begin{equation*}\left\{\begin{array}{rll} -\Delta u&=\lambda|u|^{p-2}u+\mu \phi(x)|u|^{q-2}u\\ -\Delta \phi&=|u|^q\\ u&=\phi=0 \end{array}\right. \begin{gathered}\begin{array}{rll} &\mbox{in}\ \Omega,\\ &\mbox{in}\ \Omega,\\ &\mbox{on}\ \partial\Omega, \end{array}\end{gathered}\end{equation*} 其中 $\lambda,\mu>0, p\in [2,6), q\in (1,5)$ 且 $\Omega\subset \mathbb{R}^3$ 为有界域。该问题可视为 $\Omega$ 中经典 Lane-Emden 方程 $-\Delta u=\lambda|u|^{p-2}u$ 的非局部微扰。该问题具有一个含非局部项 $\mu\int_{\Omega}\phi|u|^q$ 的变分泛函。非局部项的出现使得变分泛函与局部情形 $\mu=0$ 截然不同，对于后者，若 $p\in (2,6)$，问题存在基态解和最小能量节点解。当 $\lambda \not =0$ 时，该问题也可视为带有局部微扰项的非局部 Choquard 方程。对于 $\mu>0$，我们表明虽然基态解始终存在，但最小能量节点解的存在性取决于 $q$：当 $q\in(1,2)$ 时不存在最小能量节点解，而当 $q\in[2,5)$ 时此类解存在。注意 $q=2$ 是一个临界值。在线性局部微扰情形下，即 $p=2$，若 $\lambda<\lambda_1$，问题具有正基态解和最小能量节点解。然而，若 $\lambda\geq \lambda_1$，问题具有一个变号的基态解，因此它也是最小能量节点解。