双相问题的节点解

我们考虑如下具有非平衡增长的参数化非自治 $(p, q)$-方程 \begin{align*} \left\{ \begin{aligned} &-\Delta_p^\alpha u(z)-\Delta_q u(z)=\lambda \vert u(z)\vert^{\tau-2}u(z)+f(z, u(z)), \quad \quad \hbox{in }\Omega,\\ &u|_{\partial \Omega}=0, \end{aligned} \right. \end{align*} 其中 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^N$ 是具有 Lispchitz 边界 $\partial\Omega$ 的有界域，$\alpha \in L^{\infty}(\Omega)\backslash \{0\}$，$a(z)\geq 0$ 对几乎处处的 $z \in \Omega$ 成立，$1<\tau< q<p<N$ 且 $\lambda>0$。在反应项中存在一个参数化凹项与扰动项 $f(z, x)$。在对 $f(z, 0)$ 的极小条件下（本质上限制其在零点附近的增长），借助变分工具、截断与比较技术以及临界群，我们证明了对于所有足够小的参数 $\lambda>0$，该问题至少具有三个非平凡有界解（正解、负解、节点解），它们有序且当 $\lambda \rightarrow 0^{+}$ 时渐近消失。