具有变增长的双相抛物型方程的强解

本文研究具有变增长算子的双相方程齐次 Dirichlet 问题的强解的存在性与唯一性：$$u_t - div \left(|\nabla u|^{p(z)-2} \nabla u+ a(z) |\nabla u|^{q(z)-2} \nabla u \right) = F(z,u) \quad \text{in $Q_T=\Omega \times (0,T)$}$$ 其中 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$，$N \geq 2$，是具有边界 $\partial\Omega\in C^2$ 的有界域，$z=(x,t)\in Q_T$，$a:\bar Q_T \mapsto \mathbb{R}$ 是给定的非负系数，非线性源项形式为 $$F(z,v)=f_0(z)+b(z)|v|^{\sigma(z)-2}v.$$ 变指数 $p$、$q$、$\sigma$ 是定义于 $\bar{Q}_T$ 的给定函数，$p$、$q$ 为 Lipschitz 连续且 $$\dfrac{2N}{N+2}<p^- \leq p(z) \leq q(z) < p(z) + {\frac{r}{2}} \ \ \text{with $0<r<r^\ast=\frac{4p^-}{2N + p^-(N+2)}$,\quad $p^-=\min_{\bar{Q}_T}p(z)$}.$$ 我们给出函数 $f_0$、$a$、$b$、$\sigma$ 与 $u_0$ 上足以保证唯一强解存在的条件，该强解具有以下全局正则性与可积性： \begin{split} u_t \in L^{2}(Q_T),\quad & \text{$|\nabla u|^{s(z)} \in L^{\infty}(0,T;L^1(\Omega))$ with $ s(z)=\max\{2,p(z)\}$}, & |\nabla u|^{p(z)+\delta}\in L^1(Q_T)\quad \text{for every $0<\delta< r^*$}. {split} 对具有正则化通量的方程 $$(\epsilon^2+|\nabla u|^2)^{\frac{p(z)-2}{2}}\nabla u + a(z) (\epsilon^2+|\nabla u|^2)^{\frac{q(z)-2}{2}}\nabla u, \qquad \epsilon>0.$$ 建立了相同的结果。