不规则双相演化问题：存在性与全局正则性

我们研究不规则双相演化方程的齐次 Dirichlet 边界问题:\n$$u_t-\operatorname{div} \left( a(z)|\nabla u|^{p(z)-2} \nabla u + b(z)|\nabla u|^{q(z)-2} \nabla u\right)=f(z), \quad z=(x,t)\in Q_T:=\Omega\times (0,T),$$\n其中 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$, $N \geq 2$ 为有界域, $T>0$。非可微系数 $a(z)$, $b(z)$, 自由项 $f$, 以及变量指数 $p$, $q$ 为给定函数。系数 $a$ 和 $b$ 为非负、有界,满足不等式\n$$a(z)+b(z)\geq \alpha \quad \text{in} \ Q_T, \quad \text{and} \quad |\nabla a|, |\nabla b|, a_t, b_t \in L^d(Q_T)$$\n对于某个常数 $\alpha>0$,且 $d>2$ 取决于 $\sup p(z)$, $\sup q(z)$, $N$, 以及初始数据 $u(x,0)$ 的正则性。自由项 $f$ 和初始数据 $u(x,0)$ 满足\n$$f\in L^\sigma(Q_T) \ \text{with} \ \sigma>2 \quad \text{and} \quad |\nabla u(x,0)|\in L^{r}(\Omega) \ \text{with} \ r\geq \max \bigg\{2,\sup_{Q_T}p(z),\sup_{Q_T}q(z)\bigg\}.$$\n变量指数 $p,q \in C^{0,1}(\overline{Q}_T)$ 满足平衡条件\n$$\frac{2N}{N+2} < p(z), q(z)< +\infty \ \text{in} \ \overline Q_T \quad \text{and} \quad \max\limits_{\overline Q_T}|p(z)-q(z)|< \dfrac{2}{N+2}.$$\n在上述假设下,我们建立了解的存在性,其作为一族正则化问题的经典解的极限,并保持初始时间可积性:\n$$|\nabla u(\cdot, t)| \in L^r(\Omega) \ \text{for a.e.} \ t \in (0,T),$$\n获得全局更高可积性:\n$$|\nabla u|^{\min\{p(z), q(z)\} + s +r} \in L^1(Q_T) \ \text{for any} \ s \in \left(0, \frac{4}{N+2}\right),$$\n并获得二阶正则性:\n$$a(z) |\nabla u|^{\frac{p+r-2}{2}}+b(z) |\nabla u|^{\frac{q+r-2}{2}}\in L^2(0,T;W^{1,2}(\Omega)).$$