一类具有变增长双相通量的抛物问题的存在性与正则性结果

我们研究方程 $$u_t-\operatorname{div}\left((a(z)\vert \nabla u\vert ^{p(z)-2}+b(z)\vert \nabla u\vert ^{q(z)-2})\nabla u\right)=f\quad \text{in $Q_T=\Omega\times (0,T)$},$$ 的齐次 Dirichlet 问题，其中 $\Omega\subset \mathbb{R}^N$，$N\geq 2$，是具有 $\partial\Omega \in C^2$ 的有界域。变指数 $p$、$q$ 以及非负调制系数 $a$、$b$ 是变量 $z=(x,t)\in Q_T$ 的给定 Lipschitz 连续函数。假设 $\frac{2N}{N+2}<p(z),\ q(z)$，且调制系数与增长指数满足平衡条件 $$\text{$a(z)+b(z)\geq \alpha>0$ in $\overline{Q}_T$},\; \alpha=const;\qquad \text{$\vert p(z)-q(z)\vert <\frac{2}{N+2}$ in $\overline{Q}_T$}.$$ 我们找到了关于源项 $f$ 和初始数据 $u(\cdot,0)$ 的条件，保证存在唯一的强解 $u$，满足 $u_t\in L^2(Q_T)$ 且 $a\vert \nabla u\vert ^{p}+b\vert \nabla u\vert ^q\in L^\infty(0,T;L^1(\Omega))$。该解具有梯度的全局更高可积性： $$\vert \nabla u\vert ^{\min\{p(z),q(z)\}+r}\in L^1(Q_T)\quad \text{with any $r\in \left(0,\frac{4}{N+2}\right)$},$$ 这是借助变 Sobolev 空间中的新插值不等式导出的。我们证明了强解的二阶可微性： $$D_{x_i}\left(\left(a\vert \nabla u\vert ^{p-2}+b\vert \nabla u\vert ^{q-2}\right)^{\frac{1}{2}}D_{x_j}u\right)\in L^2(Q_T),\quad i,j=1,2,\ldots,N.$$